Elektrostatika
Gaussuv zákon elektrostatiky
Hlavní výsledek

Jedním z nejduležitejších dusledku Coulombova zákona je tzv. Gaussuv zákon elektrostatiky,
který zní takto: Necht S je libovolná uzavrená plocha vedená v elektrostatickém poli,
charakterizovaném v každém bode vektorem ~E pak platí
ZZ

S
EndS =
P
0 Q
"0
, Gaussuv zákon
kde En je prumet vektoru ~E do vnejší jednotkové normály ~n k ploše S v míste plošky dS (En =
~E.
~n) a
symbolem
P
0 Q je oznacen soucet všech náboju, které leží uvnitr plochy S. Platnost
tohoto zákona dokážeme a na príkladech ukážeme jeho význam a užití.
ELEKTROSTATIKA

Tok N vektoru ~B orientovanou plochou
Necht S je libovolná (myšlená nebo fyzicky realizovaná) orientovaná plocha vedená v elektrickém
poli charakterizovaném vektorem ~E . Orientovanou plochou pritom rozumíme
takovou, na které je jednotkovou normálou ~n vyznacena strana, považovaná za kladnou. Tuto
plochu rozdelíme na plošné elementy tak malé, aby na každém z nich byl vektor ~E približne
konstantní. Necht _S je plošný obsah jednoho z nich. Pak velicina _N, definovaná vztahem
_N = E(cos _)_S (1.16)
se nazývá „tok vektoru ~E elementární orientovanou plochou _S ÿ.

pritom na dipól jiné síly, pohybuje se jeho hmotný stred se zrychlením mírícím ve smeru
výsledné síly. Toho se využívá napr. k odstranování prachových cástic z plynu: v nehomogenním
elektrostatickém poli nabudou prachové cástice vlivem posunutí náboju uvnitr
látky dipólový moment a pusobením sil nehomogenního pole jsou pritahovány k elektrodám,
na nichž se usazují

fyzika

Intenzita ~E
na ose dipólu (osa Ox) a na symetrále úsecky AB (osa Oy) je rovnobežná s osou Ox a je dána
obecným vztahem ~ Ev = ~E + ~E 0. Její velikost je:
18
1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE
1. Na ose dipólu pro x > l/2
Ev = E0 − E =
Q
4_"0 •
"
1
(x − l2
)2 −
1
(x + l2
)2
#
Pro x _ 1 vychází po úprave Ev
.=
p/(2_"0x3)
2. Na ose Oy
Ev = 2E cos _ = 2
Q
4_"0 •
1
( l2
)2 + y2 •
l2
[( l2
)2 + y2]12
=
p
4_"0[( l2
)2 + y2]32
Obr. 1.18
Pro y _ l vychází Ev = p
(4_"0y3) . Elektrický dipól tedy vytvárí elektrické pole i ve velké
vzdálenosti, presto, že je jako celek neutrální. Ve velké vzdálenosti platí Ev _ r−3
Elektrický dipól ve vnejším elektrickém poli Je-li elektrický dipól vystaven vlivu vnejšího
elektrického pole, pusobí na nej elektrické síly a otácivý moment. Je-li elektrický dipól volný,
natácí se, prípadne se pohybuje jako celek se zrychlením. Je-li vázán ke svému okolí — napr.
polární molekula v pevné látce — natácí se nebo posouvá jenom cástecne a pusobí pritom na
své okolí.
a) Dipól v homogenním elektrickém poli. Na dipól, sestávající z bodových náboju Q,
−Q ve vzdálenosti l (obr. 1.19), pusobí v homogenním elektrickém poli o intenzite ~E
výsledná síla ~F = ~ F1 + ~ F2 = Q~E +(−Q)~E = ~0. Síly ~ F1, ~ F2 tvorí silovou dvojici o otácivém
momentu ~M , jehož velikost je | ~M | = F1l sin _ = QEl sin _ = pE sin _, kde p = Ql je
velikost elektrického momentu dipólu. Ve vektorovém tvaru lze otácivý moment pusobící
na dipól vyjádrit ve tvaru
~M
= ~p × ~E . otácivý moment pusobící na el. dipól (1.14)
Je zrejmé, že pri promenném _ je M maximální pro _ = 90_ a minimální (nulový) pro
_ = 0_, 180_. Dipól je ve stabilní rovnovážné poloze pro _ = 0_; pro _ = 180_ je rovnovážná
poloha labilní.
pole, nejsou síly ~ F1 a ~ F2stejne velké. Jejich výslednice je nenulová.

Fyzika

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS
3. Jednotlivé silocáry udávají smer vektoru ~E, nikoliv jeho velikost. Ukazuje se však, že
velikost intenzity v ruzných místech prostoru je úmerná poctu zakreslených silocar, protínajících
jednotkovou plochu vedenou kolmo na smer silocar. Napr. v rezu S1
je |~E | asi 1,5 krát vetší než v rezu S2.
Elektrostatické pole vytvorené soustavou náboju. Elektrický dipól.
Makroskopické elektrostatické pole je obvykle vytvoreno náboji spojite rozloženými na krivkách
(napr. na hranách), plochách (napr. na povrchu vodicu) nebo v objemu. Spojite rozložené
náboje charakterizují tyto veliciny:
a) Lineární hustota elektrického náboje _ ; definice: _ = dQ
dl [_ ] = C•m−1;
b) Plošná hustota el. náboje _; definice: _ = dQ
dS [_] = C•m−2
c) Objemová hustota elektrického náboje %; definice: % = dQ
dV [%] = C•m−3.
Jako príklad uvedeme výpocet intenzity pole elektrického dipólu.
Elektrický dipól Elektrický dipól je útvar sestávající ze dvou stejne velkých náboju opacné
polarity, tj. z náboju Q > 0, −Q, které jsou ve vzdálenosti l
Po stránce elektrické je el. dipól charakterizován vektorovou velicinou nazvanou moment
elektrického dipólu, která se oznacuje ~p a která je definována vztahem ~p = Q~l. Zde ~l je
vektor o délce l orientovaný od −Q ku Q. Poznamenejme, že i soustava elektrických
náboju rozložených obecne v prostoru ohranicené oblasti, jejíž celkový elektrický náboj je nulový,
tj. pro niž platí
P
Q = 0, vytvárí v dosti velké vzdálenosti elektrické pole shodné s polem
elektrického dipólu o jistém elektrickém dipólovém momentu ~p, tj. chová se jako elektrický
dipól. Takto je rozložen elektrický náboj napr. v nekterých molekulách. Tyto molekuly, které
se chovají po stránce elektrické jako elektrické dipóly, se nazývají polární molekuly. Vytvárejí
elektrické pole, i když jsou neutrální. Platí [p] = C•m.

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS
setkáváme s elektrostatickým polem napr. v okolí zdroju stejnosmerného napetí, v prostoru
kondenzátoru, pri vzniku statické elektriny na vozidlech, letadlech, na látkách z umelých hmot
atd. Všechny zákonitosti elektrostatického pole ve vakuu lze vyvodit ze základního zákona elektrostatiky
— z Coulombova zákona. V zákonech elektrostatického pole v látkách se uplatnují
i specifické vlastnosti atomu a molekul. V této cásti bude vyšetreno elektrostatické pole ve
vakuu (tj. približne i ve vzduchu).
1.1.4.2 Elektrostatické pole bodového náboje. Coulombuv zákon.
Bodový náboj Q, který je v bode M v klidu, vytvárí kolem sebe elektrostatické pole, které se
vyznacuje tím, že v libovolném jeho bode P pusobí na jiný bodový náboj Qo, který
tam vložíme a který je bud v klidu nebo se libovolne pohybuje, síla ~F, daná vztahem
~F =
1
4_"0
QQ0
r2
~ r0 Coulombuv zákon (1.12)
[N = (F•m−1)−1•C2•m−2]

Zde je r vzdálenost náboju Q, Q0, velicina ~ r0 je jednotkový vektor ležící ve spojnici bodu
M a P, orientovaný od zdroje pole Q do bodu P, v nemž síla na náboj Q0 pusobí. Velicina "0
se nazývá permitivita vakua. Její hodnota byla získána experimentálne a je
"0 = 8,854•10−12 C2•N−1•m−2. permitivita vakua
Poznamenejme bez dukazu, že platí 1C2•N−1•m−2 = F•m−1. Síla daná vztahem (1.12) se
nekdy nazývá síla Coulombova a vztah (1.12) vyjadruje Coulumbuv zákon.
Diskuse:
1. Síla, pusobící na Q0, leží ve spojnici náboju Q, Q0 a je orientována bud od Q (je-li QQ0 > 0)
nebo ke Q (je-li QQ0 < 0). V (obr. 1.13) znázornen prípad, kdy platí QQ0 > 0.
2. Náboj Q0 vytvárí kolem sebe rovnež elektromagnetické pole. Je-li Q0 v klidu, je i jeho pole
elektrostatické a pusobí na Q silou ~ F1, danou vztahem analogickým ke vztahu (1.12), lišícím
se od neho tím, že vektor ~ r0 je nahražen vektorem ~ r0, orientovaným od Q0 ke Q. Platí tedy
~ F1 = ~F. Pro Coulombovy síly platí zákon akce a reakce. Vztah (1.12) vyjadruje i známý
poznatek, že souhlasné náboje se odpuzují a nesouhlasné pritahují.
3. Velikost Coulumbovy síly je dána vztahem
| ~F| =
1
4_"0
|QQ0|
r2

1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE

Intenzita elektrického pole buzeného nábojem Q v bode P je dána vztahem ~E = ~F/Q0. Je
tedy
~E
=
1
4_"0
Q
r2
~ r0.
intenzita el. pole
bodového náboje
(1.13)
Vektor ~E leží na spojnici bodu M, P a mírí bud od Q (je-li Q > 0) anebo ku Q (je-li
Q < 0). V jsou zakresleny vektory sil a intenzit el. pole buzeného nábojem Q pro
ruzné kombinace znamének náboju.
1.1.4.3 Elektrické silocáry
Prubeh elektrického pole lze znázornit elektrickými silocárami. Elektrické silocáry jsou definovány
jako orientované krivky, jejichž orientovaná tecna v každém jejich bode má smer a orientaci
shodnou se smerem a orientací príslušného vektoru ~E.
je naznaceno nekolik elektrických silocar obecného pole a polí, vytvorených
kladným záporným bodovým nábojem. Z definice silocar a z Coulombova zákona a jeho dusledku
vyplývají tyto obecné vlastnosti silocar elektrostatického pole:

1. Každým bodem, v nemž není náboj, prochází práve jedna silocára. Body, v nichž je elektrický
náboj, prochází nekonecne mnoho silocar.
2. Silocáry elektrostatického pole nejsou uzavrené. Zacínají bud na kladných nábojích nebo
v nekonecnu a koncí bud na záporných nábojích nebo v nekonecnu. Poznamenejme k tomu,
že elektrické silocáry obecného elektromagnetického pole (tj. nikoliv elektrostatického),
mohou být i uzavrené.

Fyzika

1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE
elektrického pole v bode P. Tedy
~E
=
~F
Q
. definice vektoru ~E (1.4)
[volt•metr−1 = newton•coulomb−1] .
Diskuse:
Obr. 1.9
1. Velicina ~E je soucin skaláru Q−1 a vektoru ~F, Je-li Q > 0, jsou vektory ~E a ~F paralelní, je-li
Q < 0, jsou ~E a ~F antiparalelní (obr. 1.8b).
2. Velicina ~E je vektor, nebot splnuje podmínky kladené na vektory. Napr. platnost zákona
vektorového scítání plyne v prípade, že pole je vytvoreno dvema zdroji Z1, Z2 z toho,
že pro intenzitu výsledného pole ~E v libovolném bode P platí
~E
=
~F
Q0
=
~ F1 + ~ F2
Q0
=
~ F1
Q0
+
~ F2
Q0
= E~1 + E~2,
kde ~F je síla, pusobící v bode P na libovolný náboj Q0 a kde význam ostatních velicin je zrejmý.
Tento výsledek zustává v platnosti i v prípade elektrického pole buzeného libovolným poctem
zdroju. Pro pole n-zdroju platí
~E
= E~1 + E~2 + . . . + E~n. zákon superpozice el. polí (1.5)
Vztah vyjadruje soucasne zákon superpozice elektrických polí. Analogický zákon platí
i pro magnetickou složku elektromagnetického pole.
Obr. 1.10
3. Je-li ve vztahu (1.4) Q = 1 coulomb, platí císelne {E} = {F}. Jednotka ~E : [E] = newton•coulomb−1.
Lze ukázat (viz odstavec 1.2.2, rovnice (1.39)), že platí 1N•C−1 = 1 volt•metr−1 = 1V•m−1,
což je jednotka, které se užívá nejcasteji. Velikost vektoru ~E: kolem svorek akumulátoru E _ 102 V•m−1, pruraz vzduchu E _ 3•106 V•m−1.

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS
4. Z definicního vztahu (1.4) plyne, že v bode P, kde je elektrická intenzita ~E , pusobí na bodový
náboj Q síla
~F = Q~E elektrická síla (1.6)
[N = C•V•m−1]
1.1.3.4 Magnetická indukce ~B. Lorentzova síla F~L
Obr. 1.11
Tak jako vektor ~E charakterizuje mohutnost a smerové vlastnosti elektrického pole, charakterizuje
tyto vlastnosti u pole magnetického vektorová velicina zvaná magnetická indukce ~B.
I v prípade pole magnetického se za míru jeho mohutnosti považují jeho silové úcinky na elektricky
nabité cástice. Magnetická síla, kterou pusobí magnetické pole na letící bodový náboj, se
nazývá síla Lorentzova znací se bud F~m nebo F~L. Lorentzova síla má tyto hlavní vlastnosti:
Necht ~s je smer ustálené otocné magnetky v bode P magnetického pole (obr. 1.10), orientované
od jižního pólu S k severnímu N.
Necht F~m je magnetická síla, pusobící v bode P na bodovou cástici o náboji Q, která se
pohybuje rychlostí ~ v?, ležící v rovine _ ? ~s, jinak však libovolne orientovanou. Merení vedou
k výsledku, že pro tuto silu platí | F~m| _ |Q|.|v~?|, takže velicina | F~m|/|Q|.|v~?| závisí jen na
magnetickém poli v bode P. Magnetická indukce ~B v bode P je pak definována takto:
1. Smer vektoru ~B je roven smeru ~s
2. Velikost vektoru ~B je rovna
B = | F~m|
|Q|.|~ v1|
. definice vektoru ~B (1.7)
Výsledky experimentálního zkoumání síly F~m, která pusobí v bode P magnetického pole na
bodovou cástici o náboji Q, pohybující se libovolnou rychlostí ~v lze shrnout do jediného vztahu:
F~L = Q(~v × ~B ). Lorentzova síla (1.8)
[N = C•ms−1•T][N = C•m•s−1•T]
Diskuse:
14 Copyright c 2004, ÚFI FSI VUT v Brne
1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE
1. Rozmer vektoru ~B plyne z definicního vztahu: [B] = [F][Q−1][v−1] = N•C−1•m−1•s−2 =
kg•A−1•s−2. Jednotkou B je 1 tesla = 1T = kg•A−1•s−2. Velikost vektoru ~B : zemské pole
B _ 5•10−5 T, pole mezi póly elektromagnetu B _ 1T až 102 T.
2. Smer a velikost Lorentzovy síly:
a) Smer. Ze vztahu (1.8) plyne, že platí ~ FL ? ~v, ~B , tj. že síla F~L je kolmá na rovinu, danou
vektory ~v, ~B (obr.1.11a). Je-li Q < 0, mírí F~L na opacnou stranu než vektor (~v × ~B).
Ježto platí F~L ? ~v, je síla F~L vždy kolmá na trajektorii cástice. Z definice práce pak
plyne, že Lorentzova síla nekoná práci. Pusobením síly F~L se mení pouze smer, nikoliv
velikost rychlosti volné cástice. Ze vztahu (1.8) plyne známé pravidlo levé ruky pro urcení
magnetické síly
b) Velikost. Ze vztahu (1.8) plyne
F~L = |Q|vB sin _, velikost Lorentzovy síly (1.9)
kde _(0_ _ _ _ 180_) je úhel sevrený vektory ~v a ~B . Síla F~L má maximální velikost pro
_ = 90_ a minimální (F~L = 0) pro _ = 0_, 180_. Je-li v=0, je FL = 0, tj. magnetické
pole nepusobí na klidný nábor.
Obr. 1.12
3. Velicina ~B splnuje požadavky kladené na vektory, tedy je vektor. Experimenty vedou napr.
k tomuto výsledku: Je-li magnetické pole vytvoreno n zdroji Z1,Z2 . . .Zn a je-li B~k magnetická
indukce pole vytvoreného k-tým zdrojem, pak magnetická indukce výsledného pole, ~B , je dána
vztahem
~B
= B~1 + B~2 + . . . + B~n.
zákon superpozice
magnetických polí
(1.10)
Tento vztah vyjadruje zákon superpozice magnetických polí
4. Celková síla pusobící na náboj v obecném elektromagnetickém poli. Obecné elektromagnetické
pole ve vakuu je charakterizováno v každém bode vektory ~E,~B. Na bodovou cástici
o náboji Q, pohybující se rychlostí ~v, pusobí celková síla
~F = Q[~E + (~v × ~B )]. celková síla v elektromagnetickém poli (1.11)
Tato celková síla se nekdy rovnež nazývá Lorentzova. My budeme užívat názvu
„Lorentzova sílaÿ pouze pro její magnetickou složku.
1.1.4 Elektrostatické pole ve vakuu
1.1.4.1 Úvod
Elektrostatické pole je zvláštním prípadem obecného elektromagnetického pole. Je to pole, které
je vytvoreno v inerciální vztažné soustave elektrickými náboji v klidu.

ELEKTROMAGNETISMUS

Tato síla se nazývá elektrická a oznacuje se obvykle ~ Fe. Závisí — v urcitém míste prostoru —
pouze na elektrickém náboji objektu, na než pusobí. Magnetická složka elektromagnetického
pole se projevuje rovnež silou, která však pusobí na nabité objekty pouze když se pohybují. Na
rozdíl od síly F~e závisí magnetická síla F~m jak na elektrickém náboji telesa nebo cástice, na které
pusobí, tak na velikosti a smeru jejich rychlosti. Na klidnou nabitou cástici magnetické
pole nepusobí. Výsledná síla ~F, pusobící v libovolném bode P na nabitou cástici, pohybující
se rychlostí ~v v elektromagnetickém poli, je rovna F~ = F~e + F~m (obr. 1.7).
Elektrická a magnetická složka elektromagnetického pole se v prostoru prekrývají a jsou na
sobe závislé: zmena jedné z nich je doprovázena zmenou druhé. Ve zvláštních prípadech však lze
vytvorit elektromagnetické pole, které obsahuje bud jen elektrickou složku nebo jen magnetickou
složku. První typ pole, tzv. elektrostatické pole, je vytvoreno (v urcité inerciální vztažné
soustave Oxyz) náboji, které jsou v Oxyz trvale (nebo po urcitou dobu) v klidu. Vyznacuje
se zejména tím, že a) pusobí na elektricky nabitá telesa (cástice) silou nezávislou na jejich
pohybu, b) nepusobí na permanenetní magnety ani na proudovodice (pokud ovšem nejsou elektricky
nabity). Druhý typ pole, tzv. magnetostatické, je buzeno (v urcité inerciální vztažné
soustave Oxyz) klidnými permanentními magnety nebo proudovodici, kterými prochází stálý
proud. Vyznacuje se zejména tím, že a) pusobí na permanentní magnety, na elektrické proudy
a na pohybující se elektricky nabité cástice, b) nepusobí na náboje v klidu. Elektrostatické
a magnetostatické pole je stálé, tj. s casem nemenné.
Elektrickým polem se rozumí bud elektrická složka elektromagnetického pole nebo elektrostatické
pole. Jeho mohutnost se posuzuje podle jeho silových úcinku na elektrické náboje
a charakterizuje se velicinou ~E , nazvanou intenzita elektrického pole. K definici vektoru ~E
zavedeme nejprve pojem elektrický bodový náboj. Bodový náboj je bud elementární cástice
— elektron, proton atd. nebo iont, nebo malé nabité telísko, tak malé, že jeho rozmery a tvar
nejsou v dané situaci z fyzikálního hlediska podstatné. Je analogií hm. bodu mechaniky. Definice
elektrické intenzity ~E spocívá na této duležité vlastnosti elektrického pole: Vložíme-li do bodu
P elektrického pole postupne kladné bodové náboje Q1,Q2,Q3, . . . (obr. 1.8a), pusobí na ne
elektrické síly ~ F1, ~ F2, ~ F3, . . .
Tyto síly mají stejný smer a orientaci a pro jejich velikosti platí F1 : F2 : F3 : . . . = Q1 :
Q2 : Q3 : . . . V tomtéž bode pusobí na záporné bodové náboje síly orientované opacne, jejichž
velikosti jsou opet úmerny nábojum (obr. 1.8b). Odtud plyne: Necht na bodový náboj Q (kladný
nebo záporný, a libovolne velký, který je v klidu nebo pohybu) pusobí v bode P elektrická sila
~F. Pak vektorová velicina ~F/Q nezávisí na náboji a na jeho rychlosti a má v bode
P velikost a smer, jež závisí jen na elektrickém poli. Podílem ~F/Q je definována intenzita